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SDR课程:傅里叶变换的基本概念

傅立叶变换的定义:英文为Fourier transform,简写FFT。表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

具体函数定义:

f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点,附f(x)单调或可划分成有限个单调区间,则F(x)以2T为周期的傅里叶级数收敛,和函数S(x)也是以2T为周期的周期函数,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。

则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换,

②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数,f(t)叫做

F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。

①傅立叶变换

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②傅立叶逆变换

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在上述两个表达式中,时间域是F(w.),频率域是f(t),我们回顾一下频率f,角速度w和时间的关系如下。

傅立叶变换时域和频域的意义:傅里叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波方波锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分,对有规律但是不规则的信号进行分析,如下图:

上图可以明确地看出,时域上,波形是有规律周期变换,但是无法分析具体信号的意义,但是通过傅里叶变换可以看出是由不同频率的信号进行合成,这样在频域上我们就可以对信号进行更好的分析和处理。

傅里叶变换的应用:傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用,在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小。典型的应用举例如下:

  1. 软件无线电中的频谱分析。
  2. 图像处理中的降噪处理,去除噪点。
  3. 声音中的降噪处理,音频后期处理等等。

下面以软件无线电为例讲解FFT的作用(使用GNURadio进行仿真):

无线电中的信号包括时域信号和频率信号分析。

时域信号分析:对于信号在时间领域,分析信号输出量的时域表达式,分析信号的性能。

下图是软件无线的GNURadio产生的电信号,信号比较简单,但是无法直观看出频谱。

频域信号分析:利用FFT变换,将复杂的信号分解成为简单信号的叠加,FFt可以将能将复杂的信号分解成为有限个或无限个频率的简单信号。

上图中我们可以看到频域有800Hz和1KHz的信号组成上述的时域信号。

Posted in SDR 软件无线电

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