傅立叶变换的定义：英文为Fourier transform，简写FFT。表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
具体函数定义：
f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，
②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做
F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。
①傅立叶变换
②傅立叶逆变换
在上述两个表达式中，时间域是F(w.),频率域是f(t)，我们回顾一下频率f，角速度w和时间的关系如下。
傅立叶变换时域和频域的意义：傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分，对有规律但是不规则的信号进行分析，如下图：
上图可以明确地看出，时域上，波形是有规律周期变换，但是无法分析具体信号的意义，但是通过傅里叶变换可以看出是由不同频率的信号进行合成，这样在频域上我们就可以对信号进行更好的分析和处理。
傅里叶变换的应用：傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用，在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小。典型的应用举例如下：
- 软件无线电中的频谱分析。
- 图像处理中的降噪处理，去除噪点。
- 声音中的降噪处理，音频后期处理等等。
下面以软件无线电为例讲解FFT的作用（使用GNURadio进行仿真）：
无线电中的信号包括时域信号和频率信号分析。
时域信号分析：对于信号在时间领域，分析信号输出量的时域表达式，分析信号的性能。
下图是软件无线的GNURadio产生的电信号，信号比较简单，但是无法直观看出频谱。
频域信号分析：利用FFT变换，将复杂的信号分解成为简单信号的叠加，FFt可以将能将复杂的信号分解成为有限个或无限个频率的简单信号。
上图中我们可以看到频域有800Hz和1KHz的信号组成上述的时域信号。
