无线多径衰落系数的统计特性

上两节内容探讨了无线多径的产生原因，推导了多径的数学模型，并分析多级衰落的基本原理，但由于多径的产生具有随机性和统计性的特点，因此从本节内容开始，我们以无线多径衰落的统计特性的分析为主，逐步揭示多径衰落对无线通信的解调、解码、以及误码率的影响，并对如何利用多径衰落的特点逐步提出并优化多径效应带来的影响。

1. 多径衰落系数

由于在无线通信中，y_br(t)=s_b(t)*h(t) , 其中*表示卷积，h(t)代表系统的冲激响应函数。h(t)可以用多径中每条路径的衰减因子和延迟因子表达，如式（1）所示，经过通带-基带公式分析可得式（2），将式（2）进一步分析优化，可得式（3），及式（4），

  h(t) = a₀δ(t-τ₀)  +a₁δ(t-τ₁) +a₂δ(t-τ₂) +….+ a_L-1δ(t-τ_L-1)  =∑ (a_iδ(t-τ_i))，     i=0,1,2…L-1                 (1)

  y_br(t)=∑ a_i s_b(t-τ_i)e^{j2πf_c(-τ_i)}=∑ s_b(t-τ_i)a_ie^{j2πf_c(-τ_i)}                                                i=0,1,2…L-1                 (2)

            y_br(t)=s_b(t)∑ a_i e^{j2πf_c(-τ_i)}      =ks_b(t)                                                                          i=0,1,2…L-1                (3)

            k=∑ a_i e^{j2πf_c(-τ_i)}                                                                                                               i=0,1,2…L-1                 (4)

式（3）是窄带系统的简化，此时因子k=∑ a_ie^{j2πf_c(-τ_i)} 变成与原始信号相乘关系。对于非窄带系统，在窄带系统分析后再加以补充。y_br(t)的多径特性完全由k决定，因此k称为多径衰落系数。从式（4）可以看出k与时间无关，是非时变系统。

注：实际多径系统中k是随着时间而变化的，并非是完全的非时变系统，但由于相对与瞬时分析，这种相对变化比较慢的慢时变系统，在分析中可以暂时忽略时变的影响。

由于k是复数表达式，将k用同相（in phase)和正交(quadrature) 两个因子表示,即实部(real part)和虚部(imaginary part)；或幅度(amplitude) 和相位(phase)的方式表示，如式（5）

k= x+ jy   =ae^jφ                               (5)

将式（4）按照正弦和余弦的方式展开的式（6）

  k=∑ a_i e^{j2πf_c(-τ_i)}    =∑{ a_icos(2πf_cτ_i) -ja_isin(2πf_cτ_i)       i=0…L-1        (6)

由式（5）、（6）比较可以得到：

x=∑a_icos(2πf_cτ_i),       i=0…L-1       (7)

y=-∑a_isin(2πf_cτ_i),      i=0…L-1       (8)

到目前为止，式（7）和式（8）依然比较复杂，不利对系统特性做出准确描述，因此我们采用统计特性进行描述，在得出统计描述特性前，先回顾一下概率、统计的一些基本知识。

2. 高斯随机过程及高斯随机变量

     (10）

3. 多径分布

从以上内容可知，多径传播具有随机性和统计性。在探讨多径分布之前，先做一个设定以便简化公式推导和直观上的理解。假设条件如下：

（1）多径传播的路径足够多，以满足高斯分布条件，

（2）在多径传播中衰减因子a₀,a₁,a₂…a_L-1， 假设LOS的衰减因子a₀=1, 则NLOS的衰减因子a₁,a₂…a_L-1都小于或等于1。

（3）没有LOS路径，只有NLOS的反射或折射（散射）路径。

根据以上假设，