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第四节 卡诺图化简

上节内容介绍卡诺图的构成原理,即自变量采用格雷码的排列方式,使相邻最小项左右、上下相邻,当函数的值为1时可以利用公式A+~A =1消去冗余变量和冗余项,而且为1的相邻最小项越多消去的变量和冗余项越多。本节将系统介绍利用卡诺图进行化简的规则和方法。

1.卡诺图化简原理

  • 相邻最小项消去冗余变量和冗余项

 例1   2变量卡诺图如图所示,指出化简原理并写出化简后得到逻辑函数

%title插图%num

图1

  (1)采用原变量化简,将图1中函数为1(方格中为1的项)按照相邻最小项标注,按照真值表求解逻辑表达式的规则,Y=m1+m2+m3= %title插图%num

            (2)利用%title插图%num=1进行化简

    • 在表格第二行有两项分别为%title插图%num和AB,二项求和为%title插图%num,而%title插图%num=%title插图%num=B , 消去变量A, 最小项由2降到1.
    • 在表格的第二列有两项分别为%title插图%num和AB ,二项求和为%title插图%num,而%title插图%num=%title插图%num=A,消去变量B,最小项由2降到1.
    • 将上面分别化简得最小项组再求和(求或)得逻辑函数Y=A+B.

(3)卡诺图中得公用项

在2维表中,AB 项被两次使用,也就是共用项,这是利用等幂律A+A=A实现的。原理如下:

%title插图%num

可见在卡诺图化简时使用共用项比在公式法化简时补重复项要容易的多。

例2  三变量卡诺图如图2所示,指出化简原理并写出化简后得到的逻辑函数

%title插图%num

图2

在图2中4项组成最小相邻项,根据卡诺图的Y1=C, 其中消去A、B变量,对应逻辑表达式化简如下:

%title插图%num

图2中第3列 利用卡诺图可以消去C,Y=AB, 对应的逻辑代数化简如下:

%title插图%num,Y2=AB

           合并Y1,Y2可以得到Y=AB+C。

例3   4变量卡诺图如图3所示,

%title插图%num

图3

        图3 中需注意的一点不仅表内的最小项可以组成相邻最小项组,表格的最左、最右,最上、最下也可以组成相邻最小项组,因为(00,10)也是相邻最小项。同时注意使用共用项。化简后表达式为:

%title插图%num

通过以上3个例子,利用卡诺图化简得规则和步骤进行总结

2.  利用卡诺图化简的规则和步骤

  • 根据变量数量按照格雷码排列成卡诺图
  • 将函数值按照最小项对应的位置填入方格中
  • 标注相邻最小项组,原则如下:
    • 找出最多最小项组,用方框或椭圆圈注,再找出相对次多相邻最小项组并标注,但圈内的最小项数目必须是2如圈内的最小项输目必须为1,2,4,8…,
    • 注意共用项的使用,即一个最小项可以被多个圈使用,但每个圈中必须有新的最小项,
    • 用全每个为1的最小项,不能遗漏。

例4 根基卡诺图化简的规则和步骤,化简图4对应的卡诺图

%title插图%num

图4

  解题步骤如下:

  •    标注

  (1)找出最多相邻最小项组如 %title插图%num,其中充分利用共用项。

 (2)不能遗漏任何没有标注的孤立项,如%title插图%num

(3)写出每个最小相邻项组化简后的积项,

(4)将多个化简得到积项相或,即得化简后的逻辑函数。

3. 含有无关项的逻辑函数化简

无关项就是在所有的输入组合中,有一些组合是不会出现在输出组合中的。也就是虽然最小项的数目为2N,但并不是所有项都是合法的。如BCD码是由4位2进制输入构成,但BCD合法的范围为0–9,A–F非法输入,但在真值表或卡诺图里如何处理这个问题呢?像这种情况,函数值不能确定,可以认为为0,也可认为为1,根据需要而定,可以有利于化简逻辑函数。如图5,

%title插图%num

图5

图中 X表示无关项,X可以为0,也可以为1,根据需要而定。对应的卡诺图如图6,

%title插图%num

图6

化简后的逻辑函数 Y=CD.

 

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