第二节 逻辑函数的最小项及性质

我们已经讨论了真值表和逻辑表达式，本节系统介绍最小项的概念，最小项的性质，以及最小项与真值表和逻辑表达式之间的关系。

1. 逻辑表达式中的最小项

逻辑表达式中的最小项，是指在逻辑表达式中最基本的因子或最小因子，该因子所表示的信息最少，也不能再拆分。如

例1 : 三输入变量的表达式，由3项构成，请指出哪个是最小项。

（1）仅有两个变量构成，可以确定是由某种途径简化得到， 如果补全应为，可以看出左边的项比右边任何一项包含的信息量要大。而或仅包含最基本的信息，不能再拆分成其它项的组合，像和不能拆分成更多项的因子，称为最小项. 可以确定不是最小项

（2）项可以同样拆分成两项，可以确定也不是最小项

（3）第三项已经包含了3个变量，包含的信息最少，即A=0,B=1,C=1时，该项为1，其它时候该项为0.而且该项也不能再拆分成多项。因此该项是最小项。

• 最小项的定义：

如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准乘积项，通常称为最小项。 如3变量的所有最小项如下：

• 最小项的总数量，如3变量最小项的总数为8，同样可以方便得到1变量的最小项的总数为2，即A, 。2变量的最小项的总数为4。可以推论得到N变量最小项的总数为2^N。

2.最小项与真值表及逻辑表达式的关系

图1 2输入与逻辑

图1是2输入端的与逻辑，可以看出2输入的逻辑总共4个最小项，分别对应真值表输入变量A，B的4种组合。如图，

图2

• 逻辑函数可以按照如下方式得到：

  • 正变量表示时，函数等于使函数为1的所有最小项之和（相或）。
  • 反变量表示时，函数等于使函数为0的所有最小项之和（相或）；此时，函数用反变量，如。

3. 最小项性质

• 最小项的总数为2^N  ，其中N为自变量的数量（或输入变量的数量，

• 惟一性：每个最小项只有一组变量组合使其为‘1’，其他组合都为零。

• 饱和性： 全部最小项的和（相或）必为1。

• 推论：任意两个最小项的乘积为零。

4. 最小项的表示方法

通常用符号m_i来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。如3变量的最小项为m₀–m₇总共8项。

• 最小项表达式

采用最小项的方式表达的式子，叫最小项表达式；如可以用最小项表示如下：

• 最小项在真值表里的对应位置

图3

5. 最小项表达式求解

• 利用A + ~A =1, 将缺失的变量补全，去掉重复项。

例： 三变量A 、B 、C ，Y=    最小项表达式为：

= m₅ +m₄ +m₁ + m₀   =

• 利用真值表，只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。

图4

6.  相邻最小项

相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项，也就是最小项中变量的值按照格雷码的顺序排列得到最小项顺序关系，称为相邻最小项。如：下图：

图5

通过观察可以找出相邻的最小项为：

• • m₀的相邻最小项：m_1，m₂，m₄ 。
  • m1的相邻最小项：m₀，m₃，m₅。
• 相邻最小项可以化简逻辑代数

在图5中的逻辑表达式为Y=m₀+m₁+m₄+m₅。观察m₀，m₁为相邻最小项，由于C的正变量和反变量各出现一次，因此m₀+m₁  可以消去变量C，得。同样m4，m5也是相邻最小项，m₄+m₅可以消去变量C，得。此时可以看出在3变量得表达式中经过相邻最小项化简，不仅由3变量降为2变量，而且和项也有4变为2. 此时做出2变量真值表如下，

图6

从图6可以看出 Y=m₀+m₂, 但m0，m2也是最小项，因此m₀+m₂可以消去变量A，最终Y=；由于真值表中m₀ 、m₁、m₄、m₅ 排列分散，不容易观察相邻最小项的关系，如果将这4项重新排列，如图7

           

图7

可见利用相邻最小项进行逻辑化简无疑也是一个好办法。只是利用传统的真值表观察是否是相邻的最小项并不方便。图7的排列方式，可以一次化简得到Y=。这就给我们提出了一个新的课题，如何将真值表重新排列才能直观简洁的得到最简的逻辑表达式，请关注下节内容，卡诺图及逻辑函数化简。