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思考题1：什么样的10进制小数可以无误差求解对应的二进制小数？

推导如下：

假设一个有限位数二进制小数为(0.a₁a₂a₃a₄…a_n)₂ ，同时假设其转换后的10进制小数为(M)₁₀。将二进制小数(0.a₁a₂a₃a₄…a_n)_{2 ,}按权值展开可得：

(0.a₁a₂a₃a₄…a_n)₂  =  a₁ x 2^-1 + a₂ x 2^-2 + a₃ x 2^-3 + a₄ x 2^-4 + a₅ x 2^-5 …… + a_n x 2^-n = (M)₁₀

因为二进制数码取值范围为0 和1，所以a₁ 、a₂ 、 a₃、 a₄ 、a₅、…… a_n取值为0 或1。a₁ 、a₂ …… a_n不同的取值组合可分为3种，第一种a₁ 、a₂ …… a_n全部取值0，第二种全部取值1，第三种部分取值0，部分取值1：

组合1：a₁ 、a₂ 、 a₃、 a₄ 、a₅、…… a_n 都为0，二进制小数按权展开后如下：

(0.a₁a₂a₃a₄…a_n)₂  = 0 x 2^-1 +0 x 2^-2 + 0 x 2^-3 + 0x 2^-4 + 0 x 2^-5 …… + 0 x 2^-n = (M)₁₀ 最后结果是0，小数无效。

组合2：a₁ 、a₂ 、 a₃、 a₄ 、a₅、…… a_n 都为1，二进制小数按权展开后如下：

（0.a₁a₂a₃a₄…a_n)₂  = 2^-1 + 2^-2 + 2^-3 + 2^-4 + 2^-5 …… +  2^-n =  (M)₁₀

从以上等式可看出（0.a₁a₂a₃a₄…a_n)₂ 转换后的10进制小数(M)₁₀ 是多个2的负幂次方数之和。

组合3：a₁ 、a₂ 、 a₃、 a₄ 、a₅、…… a_n 部分为0，部分为1，由于0与任何值相乘都为0，对结果无影响，所以剩下的2的负幂次方数相加最后的结果依然是多个2的负幂次方数之和。

结论：一个有限位二进制小数转换后的10进制小数一定是一个2的负幂次方数。所以只有当这个10进制小数是多个2的负幂次方数之和时，才能无误差求解二进制小数，下面我们举例说明推论的正确性。

举例1：10进制小数 (0.5)₁₀  = ( 2^-1)₁₀ ，利用基数连乘法，竖式求解如下：

得二进制小数(0.5)₁₀  = (2^-1)₁₀ = (0.1)₂

举例2：10进制小数 (0.75)₁₀ = (2^-1 +2^-2)₁₀，利用基数连乘法，竖式求解如下：

得二进制小数(0.75)₁₀  =  (2^-1 +2^-2)₁₀  = (0.11)₂

举例3：10进制小数 (0.875)₁₀ = (2^-1 +2^-2 + 2^-3 )₁₀，利用基数连乘法，竖式求解如下：

得二进制小数(0.875)₁₀  =  (2^-1 +2^-2 + 2^-3 )₁₀ = (0.111)₂

举例4：10进制小数 (0.625)₁₀ = (2^-1 + 2^-3 )₁₀，利用基数连乘法，竖式求解如下：

得二进制小数(0.625)₁₀  =  (2^-1 + 2^-3 )₁₀ = (0.101)₂

以上4个例子的10进制小数都是多个2的负幂次方数之和，可以无误差的求解对应的二进制小数，说明我们的推导是正确的。

 

思考题2：如何证明二进制小数精度取值的正确性？

推导如下：

假设一个10进制小数用基数连乘法转换后的2进制小数为N，求解到的二进制小数的位数总共为m位。用权展开式可得：

N = 2^-1  + 2^-2 + 2^-3 + 2^-4 + 2^-5… + 2^-m

要求计算后的2进制小数精度为A，假设取值到n位时得到2^-n ≤ A ，如果此时的取值已经满足精度要求，则n位后丢弃的全部小数之和肯定比A小，假设丢弃位的数值之和为B,用权展开式可得：

B =  2^{-（n+ 1）} + 2^{-（n+ 2）}+ 2^{-（n+ 3）}…… + 2^-（m-n）

为证明我们的取值满足精度要求，我们需要证明 B <  A。

根据等比数列特点，我们可对B化简,：

B =  (2^{-（n+ 1）}– 2^-（m-n）* 2^-1)/(1-2^-1)

= (2^{-（n+ 1）}– 2^-（m-n+1）)/(1-2^-1)

= (2^{-（n+ 1）}– 2^-（m-n+1）)/2^-1

= 2^-n– 2^-（m-n）

假设m 无穷大，那么2^-（m-n） 就无穷接近0，但永远不可能 等于0，一个被减数减去一个比0大的数，其最后的结果肯定比原值更小，所以可得出：

2^-n– 2^-（m-n） < 2^-n,我们已知 2^-n < A, 所以 2^-n– 2^-（m-n） 肯定比 小A，即B< A，由此得出我们的假设成立，小数位数取值到n位满足精度要求，我们也可以用实际的例子证明。

举例1：假设一个10进制小数用基数连乘法转换为对应2进制小数后，求解到的二进制小数的位数总共为m₁位，要求计算后的2进制小数精度为0.5。根据我们的推导公式可得2^-n ≤ 0.5 算出n = 1，B = 2^-n– 2^-（m1-n） = 2^-1 – 2^-（m1-1） < 0.5 。

举例2：假设一个10进制小数用基数连乘法转换为对应2进制小数后，求解到的二进制小数的位数总共为m₂位，要求计算后的2进制小数精度为0.26。根据我们的推导公式可得2^-n ≤ 0.26 算出n = 2，B = 2^-n– 2^-（m2-n） = 2^-2 – 2^-（m2-2） < 0.25 < 0.26 。

举例3：假设一个10进制小数用基数连乘法转换为对应2进制小数后，求解到的二进制小数的位数总共为m₃位，要求计算后的2进制小数精度为0.126。根据我们的推导公式可得2^-n ≤ 0.126 算出n = 3，B = 2^-n– 2^-（m2-n） = 2^-3 – 2^-（m2-3） < 0.125 < 0.126 。

总结：通过以上3个例子也能很好证明我们推导是正确的，从而证明我们对二进制小数的位数取值也是正确的。