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第四节 逻辑函数及其运算规则(1)

在探讨了与或非组合逻辑后,我们在把逻辑函数的严格定义以及运算规则的相关内容做更详细的介绍和总结。

1. 逻辑函数

逻辑函数定义:如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值,输出逻辑变量Y就有唯一确定的值,则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为

Y= f (A,B,C…)       (1)  在逻辑函数中,等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量,等式左边的字母Y称为输出逻辑变量,字母上面没有非运算符的叫做原变量,有非运算符的叫做反变量。

逻辑函数在数字逻辑设计中常使用两种方法表达,(1)公式法,如上面的公式,(2)列表法,如真值表

注意:与普通代数不同的是,在逻辑代数中,不管是变量还是函数,其取值都只能是0或1,并且这里的0和1只表示两种不同的状态,没有数量的含义。

逻辑表达式:由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。表达式是组成逻辑函数的基础。表达式的运算要遵循一定的规则。

2. 表达式的运算规则

表达式的运算应注意如下规则:

  • 顺序规则:表达式的运算遵循自左向右的规则。如 Y=A+B+C; 即先求A+B, 将A+B的结果再与C运算。
  • 优先级原则:与、或、非运算符的优先级不同,按照从高到低的顺序为: 非(!,~), 与(&, •),或(|,+)。如Y=A+B+CD, 应先计算CD,同级别的优先级按照从左到右的顺序计算,括号()可以改变计算顺序。如:

Y=A+(B+C)D,  括号改变了计算顺序,在A+(B+C)D应先计算B+C,再计算B+C和D与运算。

  • 相等规则:两个表达式中变量A,B,C… 的任意一组取值,对应两个表达式的结果(逻辑值)都相等,也即如果两个表达式的真值表相同,则称表达式相等。如: Y=~(AB)与Y=~A|~B, 虽然从表达式的形式上看是不同的,但~(AB)与~A|~B是相等的表达式。

判断表达式是否相等,可以列出二者的真值表判断。

表达式相等充要条件:若两个逻辑表达式相等,则它们的真值表一定相同;反之,若两个表达式的真值表完全相同,则这两个表达式一定相等。因此,要证明两个逻辑表达式是否相等,只要分别列出它们的真值表,看看它们的真值表是否相同即可。

如图1,列出二者的真值表,可以得到~(AB)=~A|~B。

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图1

也可以通过逻辑变换得判断是否相等,如A|A&~B=A(1|~B)=A,因此得 A|A&~B=A;

3. 逻辑代数的公式和定理

  •  基本定律1:

    • 0-1律

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    • 互补律:

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    • 等幂律

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    • 双重否定率

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   上述定律只有一个变量A,分别令A=0及A=1代入这些公式,即可证明它们的正确性。

  • 基本定律2:

    • 交换律:

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    • 结合律:

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    • 分配律:

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    • 吸收律:

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    • 还原律:

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         练习:

                   (1)用真值表证明: A·(B+C)=A·B+A·C

             (2)用真值表证明:A+BC=(A+B).(A+C)

            (3)%title插图%num

 

(4) 公式法证明分配律:A+BC=(A+B)(A+C)

证明: A+BC=(A+B)(A+C) (提示 A+AC=A+AB=A)

证: 方法(1)(A+B)(A+C)= AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC =A(1+C)+BA+BC=A+BA+BC=A(1+B)+BC =A+BC                         (证明右边等于左边)

方法(2) A+BC=A+AB+BC=A+B(A+C)=A+AC+B(A+C) =AA+AC+B(A+C)=A(A+C)+B(A+C) =(A+C)(A+B)=(A+B)(A+C)          (证明左边等于右边)

    • 冗余律

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                    冗余律证明:

 

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