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第一节 逻辑代数及逻辑运算的基本知识

本节内容介绍逻辑代数以及逻辑运算类型的基本知识,其中主要介绍逻辑变量,逻辑运算类型以及在此基础上进行逻辑建模的概念。为后续课程打下良好的基础。

1. 逻辑变量

逻辑代数中的变量称为逻辑变量,一般用大写字母表示,如A,B,C,D 等。逻辑变量的取值只有两种,即逻辑0和逻辑1,0 和 1 称为逻辑常量,并不表示数量的大小,而是表示两种对立的逻辑状态,如对、错,大、小,高、低,前、后,通、断,开、合等对立的逻辑状态。逻辑变量分为输入变量和输出变量。由输入、输出可以建立输入、输出之间的关系。这就是我们利用数学解决现实问题的最基本的手段。

2.  逻辑运算类型

在逻辑代数中只有0和1两种逻辑值,有与、或、非三种基本逻辑运算,还有 与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。基本逻辑与、或、非在2进制逻辑运算中已经做了介绍,与或、与非、与或非、异或是由基本逻辑运算的组合运算类型,本章后续课程将从代数的视角重新对这些类型的运算做更详细的解释和应用。

3. 逻辑代数建模

逻辑是指事物的因果关系,或者说条件和结果的关系,这些因果关系可以用逻辑运算来表示,也就是用逻辑代数来描述。 事物往往存在两种对立的状态,在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ,称为逻辑0状态和逻辑1状态。 以逻辑变量为基础,将逻辑关系描述为逻辑变量的表达式或方程,并赋予计算或求解的过程,称为逻辑代数建模。如 Y=A&B&C; 描述了A,B ,C3个输入变量,只有该3个变量都为1时,输出变量Y才为1。可见利用逻辑方程描述的关系更具有一般性。

4. 逻辑函数

逻辑函数:如果有若干个逻辑变量(如A、B、C、D…)按与、或、非三种基本运算组合在一起,得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值(如0000…、0001…、0010…)L有唯一的值与之对应,则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D…的逻辑函数记为:L=f(A、B、C、D…) 逻辑变量A、B、C、D… 为自变量,L为因变量或函数。如:Y=A&B。

5. 真值表

除了采用逻辑函数描述输入、输出关系外,还可以采用列表方式来描述输入、输出变量之间的关系。一般将输入的各变量之间的所有组合列在表的左侧,右边列出对应的输出,这种列表称为真值表(truth table)。真值表一般可以从功能描述表得到。如图1,图2所示。

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图1 开关电路

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图2 功能描述表

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图3 真值表

 

由图1可以做出如图2的功能描述,功能描述虽然也很清楚明了,但他有一个致命的缺点,就是很难利用数学工具进行各种运算和推导,也不便将研究的结果推广。因此将功能表转换为真值表,再与逻辑函数相结合,这样就可以利用逻辑代数的各种分析方法实现化简、提炼、综合,最后转换成RTL(register transfer level)逻辑电路。

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