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第三章 逻辑代数、逻辑方程和逻辑函数

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在上章2进制数的运算中讲解过2进制数的逻辑运算,其中涉及到与、或、非的运算。但对于事物的描述,仅仅利用数据的计算是不够的,就像10进制数的计算一样,在2进制的计算中应有代数、逻辑方程以及逻辑函数。逻辑代数研究一般逻辑运算规则,逻辑方程求解满足特定要求的输入输出关系,逻辑函数从更广泛的范围内研究输出随输入的变化规律,揭示事物发展的规律。在逻辑函数的基础上才能广泛的描述事物的特性,状态和行为。因此,本章引入逻辑代数、逻辑方程和罗家函数的概念,可以更有效地解决事物之间的逻辑关系,以及推理、判断、行为等。

  • 逻辑代数概述

逻辑代数(algebra of logic)是一种用于描述客观事物逻辑关系的数学方法。由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)于19世纪中叶提出,因而又称布尔代数。逻辑代数有一套完整的运算规则,包括公理、定理和定律。它被广泛地应用于开关电路和数字逻辑电路的变换、分析、化简和设计上,因此也被称为开关代数。 随着数字技术的发展,逻辑代数已经成为分析和设计逻辑电路的基本工具和理论基础。利用逻辑代数建立的逻辑方程提供了描述事物的特性,事物之间的关系、运动规律等的模型,这就是我们常提到的建模。解方程就是在逻辑建模的基础上找到需要的解决方案。

逻辑代数和逻辑方程与普通数学的代数和方程类似,在充分了解事物的特性、逻辑以及发展规律后用特定的字母如X,Y , A ,B,C等替代具体的数字,写出逻辑或时序表达式,建立逻辑方程,化简逻辑表达式,求解方程,得到在满足特定输出的要求下,得到对应的输出条件。逻辑函数描述输出随输入的变化规律,建立输入输出关系,化简函数中逻辑表达式,最终由RTL工程师成功的在芯片实现。

逻辑函数通常有两种表达方式,分别为代数表达方式和真值表。通过代数的方式描述了逻辑函数输入、输出之间的关系。真值表通过罗列(或枚举)所有输入与输出的对应值,从而描述输入、输出的关系。

如:异或逻辑函数    Y =A(~B)+(~A)B                     (1)

式(1)描述了输入变量A、B与输出Y的函数关系。

该函数同样也可以用真值表描述,如表1

表1,异或函数

输入 输出
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
  • 逻辑代数的研究手段

常用的手段有真值表,卡诺图,逻辑代数化简等手段,最终将得到最佳结果匹配到数字逻辑上。

  • 逻辑代数的研究内容

(1)逻辑函数分析

    • 分析整体逻辑功能,

给定逻辑函数表达式或真值表,分析逻辑函数功能,给出输入、输出确定关系的描述。如:给定式  Y =A(~B)+(~A)B   ,或真值表(表1),通过分析可以得出结论,只有A,B不同时为1,Y为1, 输入、输出是异或关系,或一位加法的关系。

    • 针对特定要求,建立方程,求解方程。如根据 函数Y =A(~B)+(~A)B ,当Y=1时,求解A,B的值,可以得到(A,B)为(0,1)或(1,0)时满足要求。

(2)逻辑函数综合

逻辑函数综合包括如下过程,

    • 根据事物、事件,状态等要求或发展规律,建立逻辑函数的对应关系。
      • 建立真值表
      • 写出逻辑函数表达式
      • 化简
      • 画出逻辑电路或RTL设计。

思考题:

(1)逻辑表达式,逻辑方程,逻辑函数之间区别与联系。

(2)什么是真值表,真值表与函数的关系?

 

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