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第一节 数制基础

数制(number system)是指用一组统一的符号和规则来表示数的方法。它涉及记数制,定点数和浮点数的表示,数的原码、补码、反码表示及其相应的运算规则。数制涉及基数和权两个概念,以及由基数元素与权值组织数的规则。

1. 基数与权值

(1)基数:基数(cardinal number)在数学上,是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。通俗的说就是集合中元素的个数。对于10进制来说,可以有这样的一个集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},在10进制的有限数内任何的数字都可以用该集合的元素的组合表达,如:567, 7896, 10000,10.01等。可见10进制的基数为10,即10个数字元素。

(2)权:权(或权值)标识了数字的位置或顺序,位置不同所代表的含义也不相同。具体到不同进制上,权值(或位权)表示某一位上的1所表示数值的大小(所处位置的价值)。权值和基数息息相关,10进制的基数为10,相应的权值应为10的幂次方。

  • 不同位置表示的含义和大小不同,如19,199两个数字中都含有1,但由于位置不同,其代表的含义完全不同。在19中的1表示10,而199中的1表示100。
  • 10进制中的权值可以根据数字的位置表示为10的幂的形式。如189中1的权值为100,可以表示为10;8的权值为10,可以表示为10;9的权值1,可以表示为10
  • 小数点后的数字对应的权值以10的负幂次方表示。如0.1可以表示为1 x 10-1 ,0.02可以表示为2 X 10-2 的形式。

(2)数值可以按照权值进行多项展开:

如:10进制数1456可以表示为1 x 103+4×102+5×101+6×100

例1:将10进制数789.25按照权值进行多项展开

(789.25)10 = 7 x 102+8 x 101+9 x100+2 x 10-1 +5 x 10-2

例2,十进制数7532按位权展开并计算

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图1

2. 数制的运算

由基数集合内的元素及权值组成的数特定的数域满足 加(+),减(-), 乘(x) ,除( ÷) 四则运算,其中除数不能为零。具体内容如下:

  • 由基数元素及权值组成的特定的数域满足四则运算,该数域应满足封闭的原则,及经过四则运算后的结果仍在该数域中。如实数满足该规则。而整数不满足除法的规则,因为整数除以整数很可能为小数。有理数域也满足四则运算的规则,但无理数则不满足四则运算规则(试举例说明)。关于数域的概念请参见数域的概念二进制数域及计算等章节。
  • 只有相同权值对应的数字才能进行加减运算。如437+569 只能4与5,3与6,7与9等对应位置的数字才能进行加减运算。
  • 进位:根据基数大小实现进位,如10进制数由0-9十个数字组成,大于10的数字影响高一级的权值对应位进位,因此有逢十进一的进位规则,如例2的计算过程中图1所示。
  • 借位:从高一级权值对应位置借1位,相当于基数大小,如657- 163  其中5-6 不能满足本位运算,则向高权值对应的位借位,对于10进制来说,高位借1,本位相当于10.

例如9+1=10 表示加法后的结果向权值为101对应数值进位。

3. 数的进制

前面章节探讨了数制,权,进位,数域,四则运算等内容。在具体举例时都采用大家熟悉的10进制数。在日常生活中还会经常使用其它的进制方式。如2进制,7进制,12进制,8进制,16进制,30进制,365进制等。

  • 7进制,每周7天,基数为7,7进制的集合为{0,1,2,3,4,5,6},权为7的幂次方7n ,逢7进1。
  • 12进制,每年12个月,基数为12,12进制的集合可以表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B},其中A表示10,B表示11。12进制的权为12的幂次方,即12n ,逢12进1。
  • 30,365等进制与上面介绍的7,12进制类似,这里不在介绍。

4. 2进制,8进制,16进制

在数字电路以及计算机系统中使用最广泛当属于2进制,8进制和16进制。

  • 2进制:2进制的基数为2,集合为{0,1},权为2的幂次方,即2n。进位,逢2进1。
  • 8进制:8进制的基数为8,集合为{0,1,2,3,4,5,6,7},权为8的幂次方,即8n。进位,逢8进1。
  • 16进制:16进制的基数为16,集合为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, 其中A,B,C,D,E,F在不产生误解的情况下也可以用小写字母a,b,c,d,e,f替代,也可以混合使用,如{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,d,E,f}。
    • 字母A表示10,B表示11,C表示12,D表示13,E表示14,F表示15。
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