放大器稳定性的概念 2
如果运算放大器确实是单极点放大器，那么它永远不会出现峰值或任何其他形式的不稳定。 实际上， -20 dB/十倍频程的斜率随后会保持在超出其 GBW 的频率。 此外，对于超出带宽 f1 的所有频率，其 -90° 的相位都是恒定的。 单位增益反馈的应用导致放大器的带宽与 GBW 一致。
没有任何峰值的痕迹，只有当相位特性接近 -180° 线时，才可能出现峰值或振荡开始， 在这种情况下，负反馈将转换为正反馈并且可能发生振荡。 我们必须验证相位与关键的 -180° 之间的距离， 这就是为什么这个相位距离命名的原因， 它被称为相位裕度。 它是在环路增益为 1 的频率处获取的， 在这种情况下，该频率是 GBW。 显然，90° 的相位裕度足够大，不会出现峰值或任何形式的振荡。
图 1 单极系统
对于频率为 f1 和 f2 的具有两个极点的运算放大器来说，这是非常不同的， 每个极点导致 -90° 的相移， 结果我们发现高频相移。 这意味着在高频下，信号被反转。 仍然有一个略大于单位增益的环路增益。 负反馈变成了正反馈，并有一点点增益。 因此，我们获得的是振荡器而不是放大器！
在环路增益变为单位增益的频率（此处为 GBW）处，相位裕度 PM 不完全为零。 如果它为零，我们将有一个真正的振荡器。 它不完全为零，但非常小， 这就是该放大器显示振荡趋势的原因。 它在该频率处显示出大量峰值。 我们不想要峰值，因为这样的峰值是非常不可再现的， 此外，噪声因该峰值而恶化， 这样的峰值然后扩展到大部分频率范围。 问题是，我们必须将相位特性与这个关键的 -180° 保持多远？ 可以允许相位裕度 PM 增加多大以避免出现这种峰值？
图 2 两极系统
然而，具有两个极点的相同放大器可以在没有峰值的情况下使用， 在更高的闭环增益 Ac 下使用它就足够了。 当闭环增益相当高， 因此环路增益要小得多。 此外，当我们检查环路增益在哪里变成单位增益时，我们发现在一个频率处相位裕度 PM 相当高， 这就是没有峰值的原因， 幅度曲线非常圆润。 很明显，同一个放大器可以显示峰值，也可以不显示峰值，这取决于实际的闭环增益 Ac。 同样很明显，对于单位增益反馈，我们必须检查相位裕度的频率是最高的。 相位裕度在最高频率处最小。 单位增益放大器提供最高数量的峰值！
图 3 高环路增益给出小的相位裕度-1
现在让我们逐渐降低闭环增益 Ac， 环路增益增加，我们必须读取相位裕度的频率增加。 相位裕度因此降低，峰值逐渐出现！
图 4 高环路增益给出小的相位裕度-2
对于更低的闭环增益 Ac ，环路增益进一步增加，我们必须读取相位裕度的频率增加得更多。 相位裕度因此进一步降低，峰化因此变得更加严重！
图 5 高环路增益给出小的相位裕度-3
最后，闭环增益 Ac达到了单位增益， 环路增益与开环增益相同， 我们必须读取相位裕度的频率现在是 GBW， 相位裕度变得非常小，峰化最严重！ 很明显，对于最大的环路增益，即对于消失的闭环增益或单位增益，已经获得了最差的峰值， 这显然是最坏的情况。
我们将尝试通过添加补偿电容或增加电流来避免这种峰值。 很明显，在单位增益下补偿的放大器在大多数其他闭环增益设置下会过度补偿。
图 6 高环路增益给出小的相位裕度-4
我们如何补偿两极放大器？ 目标非常简单直观， 我们必须找到一种方法将第二个或非主导极点 f2 转移到更高的频率。 归因于该极点的额外 -90° 就会消失， 相位裕度现在为 90°。
为了说明将非主导极点移动到更高频率的效果，我们对相同的两极点放大器和相同的单位增益放大器重复波德图，但非主导极点 f2 在三个不同的位置。 在下图显示的波特图中，第二个极点 f2 显然太靠近第一个极点 f1， 大的峰值出现。
图 7 增加f2 以提高相位裕度，低 f2
将第二个极点移到更高的频率会增加相位裕度并降低峰值。 在下图这种情况下，非主导极 f2 与 GBW 重合， 因此，相位裕度为 45°， 峰值确实更小。
图 8 增加f2 以提高相位裕度
最后，我们将非主导极点 f2 移动到大约为 GBW 的三倍的值。 在这种情况下，相位裕度接近 70°， 峰值完全消失了， 幅度曲线非常圆润。 这就是我们设计所有运算放大器所要的，相位裕度约为 70°，这样就不会出现峰值。 那么这个GBW 三倍的因数三从何而来？
图 9 设置f2 ≈ 3 GBW 以设置相位裕度
这个因子 3 实际上是计算峰值和相位裕度的结果，其中应用了单位增益反馈的两极系统。 这在所有关于反馈或控制理论的教科书中都有解释！
当我们采用低频增益为 A0 和两个极点的放大器 A 的表达式时，我们必须将其代入单位增益的反馈表达式中。 实际上，这个反馈表达式是 G/(1+GH) 但这里 H=1 和 G=A。 闭环增益 Ac 在低频处为 1。
在这个反馈表达式中，我们可以根据谐振频率 fr 和阻尼 ζ（希腊字母 d，zeta）重写系数。 通常使用参数 Q 代替 ζ，则 Q=1/2 ζ。 很明显，fr 给出了出现峰值或共振的频率， 参数 ζ 确定峰值的高度。 对于零 ζ， s 中的项消失，我们在频率 fr 处得到分母为零。 因此，我们得到频率为 fr 的振荡器。 我们需要 0.5 到 1 之间的 ζ 值以避免出现峰值。 实际上当 ζ=1 时，我们有一个双极。
图 10 f2 ≈ 3 GBW 计算相位裕度
现在可以轻松计算相位裕度和峰值的实际值， 它们在下图给出， 此外还给出频域中的峰化量 Pf，然后是时域中的峰化量 Pt。 对于非主导极和 GBW 之间的比率为 3， 相位裕度为 72°， 对应的 ζ 为 0.87（或 Q =0.57)， 波德图中没有出现峰值。
我们可以允许将非主导极点减少一点，到 GBW 的两倍， 相位裕度减小到 63°，ζ 也减小到 0.71（并且 Q=0.71），我们仍然没有峰值。 然而，我们不能忘记，我们在这里使用手工计算。 在设计过程的这部分完成之后，我们希望通过数值模拟器（例如 SPICE）来验证电路性能，那时所有寄生电容都会考虑进来，将非主导极推到较低的值并降低相位裕度。 因此， 3 这个值是一个很好的安全位置。
图 11 相位裕度，阻尼和f2 /GBW的关系
下图显示了频域（或波特图）中峰值的直观的草图， 还给出了最大峰值 Pf 的值。 很明显，对于 0.7 的阻尼 ζ，我们获得了最大平坦的响应， 增大 ζ 会过多地减少带宽。 此外，使用较小的 ζ 值确实会导致峰值。 对于零 ζ，我们会有一个到无穷大的峰值，这是振荡器的典型特征。
图 12 幅度响应和频率的关系
频域中的峰值对应于时域中的振铃效应。 对于同一个放大器，我们现在加载具有方波的输入电压 vIN， 随后的输出电压 vOUT 有一些延迟。 然而，对于较小的 ζ 值，输出电压会出现过冲，随后会出现振铃效应， 系统欠阻尼， 下图给出了第一个过冲 Pt 的峰值。
通过采用 0.7 的阻尼 ζ，过冲非常小并且没有振铃效应， 而0.87 的 ζ 值根本不会产生任何过冲。 无振铃效应时的这些 ζ 值显然与无峰值时的值相似。 时域中的振铃效应和频域中的峰值显然是等效的。 设置时间 ( Setting Time ) 是获得具有一定误差的最终值所需的时间， 例如，加载到一阶系统的方波给出具有特定时间常数的指数， 为了设置在 0.1% 以内，我们需要等待 ln (1000) 或 6.9 个时间常数。 对于稍微欠阻尼的两极系统，找到 0.1% 的设置时间并不是那么明显。 当然，介于 0.7 和 0.8 之间的 ζ 是上升时间和设置时间之间的最佳折衷。
图 13 幅度响应和时间的关系
